Эйнштейн, конечно, не случайно упомянул игру в кости, поскольку научные представления о вероятностях начинаются с классической работы Христиана Гюйгенса, которая так и называлась: «О расчетах при игре в кости». Гюйгенс, рассматривал ситуацию, в которой у субъекта отсутствует точное знание о событии (выпадении определенного количества очков). При этом его интересовал только совокупный результат большого количества бросков, оцениваемый с ограниченной точностью.
Вопрос, можно ли с абсолютной точностью предсказать результат каждого броска, этой моделью не рассматривался. Таким образом, модель оставляла возможность обеих трактовок: и той, которая объясняет отсутствие точного знания о результате броска качествами субъекта (недостатком его знания о действующих факторах), и той, которая объясняет его качествами объекта (принципиальной непознаваемостью всех действующих факторов). Всегда находились люди, предпочитающие одну из этих трактовок. Но, по условиям задачи, субъекта НЕ ДОЛЖНО ИНТЕРЕСОВАТЬ точное знание результата конкретного броска. А значит, обе трактовки не имеют никакого отношения к предмету теории вероятностей.
Что же тогда исследует теория вероятностей? Что предлагал «рассчитывать» Гюйгенс, если не результат конкретного броска? Результат большого количества бросков, вроде бы, тем более нельзя рассчитать, если неизвестен результат даже одного. Но кое-какими знаниями субъект все же обладает. Эти-то знания и предлагает использовать теория вероятности. Только это знания не о конкретных факторах, влияющих на результат отдельного броска. Это - знания о РАВНОВОЗМОЖНОСТИ некоторых исходов. Они могут проистекать из представлений о симметричности игральной кости или из каких-либо косвенных соображений, главное - что они есть и их можно использовать.
Вероятности или шансы вводятся лишь как своего рода «меры возможностей» различных исходов, которые можно приравнять, чтобы записать математическую формулировку понятия «равновозможности». Сейчас такой подход называют «классическим» определением вероятности.
Конечно, этого недостаточно для однозначного математического определения. Поэтому был использован и ряд дополнительных (во многом произвольных) допущений, например, что вероятность должна представлять собой действительное число и что она аддитивна по отношению к несовместным событиям.
Что касается использования числовой меры, то это объясняется следующим соображением. Мера (т.е. вероятность) должна характеризовать не только равенство или неравенство возможностей двух событий, но и давать оценку при неравенстве, какое из них является более возможным. Можно доказать (при некоторых достаточно специфических допущениях), что такие сравнительные отношения возможны только между элементами множества, однозначно отображаемого в подмножество действительных чисел. При этом достаточно использовать свойство транзитивности сравнительного отношения. Но я не буду здесь на этом останавливаться.
Что касается аддитивности вероятности по отношению к несовместным событиям, то это допущение было использовано, очевидно, с единственной целью - обеспечить соответствие с так называемым «статистическим» определением вероятности. Статистической вероятностью исхода обычно называют предел отношения числа соответствующих исходов к общему числу испытаний при числе испытаний стремящемся в бесконечность.
Надо заметить, что такая формулировка не годится в качестве определения ни с формально математической, ни с экспериментально физической точки зрения. С точки зрения формальной математики нельзя говорить о пределе, поскольку отсутствует математическое определение последовательности. С точки зрения экспериментальной физики понятие последовательности испытаний определено достаточно четко, однако отсутствует само понятие предела: эксперимент может показать четкий результат для сколь угодно большого числа испытаний, но он никогда не докажет существование математического предела, и даже простой повторяемости результата.
Тем не менее, понятие статистической вероятности не лишено смысла. Только не в качестве определения, а в качестве следствия, известного под названием «закон больших чисел». Но это следствие выводится только при использовании вышеупомянутого допущения об аддитивности вероятности по отношению к несовместным событиям и если вероятность достоверного события принять за единицу.
При классическом определении, если имеется m равновозможных несовместных событий, хотя бы одно из которых обязательно должно произойти, то вероятности всех отдельных «элементарных» исходов равны между собой (допущение равновозможности). Пусть это будет некоторое число p (допущение о численном характере вероятности). Чему равна вероятность того, что испытание закончится любым из элементарных исходов? С одной стороны - произведению p на m (допущение аддитивности вероятностей несовместных событий), а с другой стороны - единице (допущение о вероятности достоверного события). Отсюда:
В этом и состоит суть классического определения вероятности: вероятность события равна отношению числа составляющих его элементарных равновозможных несовместных исходов к общему числу элементарных равновозможных несовместных исходов.
Рассмотрим теперь ту же ситуацию с событием A, представляющим собой логическую сумму из k элементарных исходов, но только проведем не одно, а n испытаний. В скольких случаях произойдет событие A? Если точнее задать вопрос: какова вероятность того, что событие A произойдет в i случаях? Ситуация сводится к классическому определению вероятности, только теперь у нас не m элементарных равновозможных несовместных исходов, а m в степени n. Используя формулы комбинаторики эту задачу можно решить (я здесь этого делать не буду). Полученная формула зависимости вероятности от i и от n имеет выраженный максимум при
Если рассуждать более строго, то следует ввести понятие «сходимости по вероятности». Тогда можно будет доказать (чего я здесь тоже делать не буду), что доля испытаний, в которых происходит событие A, «сходится по вероятности» при числе испытаний, стремящемся к бесконечности, к вероятности события A. В этом и заключается доказательство соответствия классического определения вероятности статистическим представлениям. Это как раз то, чего ждут физики - ведь если отсутствует способ аналитического вычисления вероятности на основе знания о симметричности игральных костей, хотелось бы иметь возможность измерять ее экспериментально.